无穷级数 - Infinite Series

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无穷级数

  • 常数项级数
    • 敛散性
    • p 级数
    • 审敛
  • 交错级数及其审敛法
  • 绝对收敛与一致收敛
  • 幂级数及其收敛性

常数项级数

定义

由一个给定数列

构成的表达式

叫做（常数项）无穷级数，记为 ，即

作（常数项）级数的前 项和

称为级数的部分和. 当 依次取 时，它们构成一个新的数列

根据这个数列有没有极限，引进无穷级数的收敛与发散的概念.

敛散性

定义

如果级数 的部分和数列 有极限 ，即

那么称无穷级数 收敛，这时极限 叫做这级数的和，并写成

如果 没有极限，那么称无穷级数 发散. 当级数收敛时，其部分和 是级数的和 的近似值，它们之间的差值

叫做级数的余项. 用近似值 代替和 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是 .

等比级数（几何级数）

其中 ， 叫做级数的公比. 如果 ，那么部分和

当 时，由于 ，从而 ，因此级数收敛，当 时，级数发散. 如果 那么当 时，级数发散，而当 时，级数也发散.

p 级数

其中常数 .

结论：

  1. 若 收敛
  2. 若 发散
收敛级数的基本性质
  1. 性质 1 如果级数 收敛与和 那么级数 也收敛，且其和为 .
  2. 性质 2 如果级数 与 分别收敛于和 与 ，那么级数 也收敛，且其和为 .
  3. 性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性.
  4. 性质 4 如果级数 收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.
  5. 性质 5（级数收敛的必要条件） 如果级数 收敛，那么它的一般项 趋于零，即
常数项级数的审敛法
  1. 定理 1 正项级数 收敛的充要条件是：它的部分和数列 有界.
  2. 定理 2（比较审敛法） 设 和 都是正项级数，且 . 若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则 发散.
  3. 定理 3（比较审敛法的极限形式）设 和 都是正项级数，
    1. 如果 ，且级数 收敛，那么级数 收敛；
    2. 如果 或 ，且级数 发散，那么级数 发散.
  4. 定理 4（比值审敛法，达朗贝尔判别法） 设 为正项级数，如果 那么当 时级数收敛， （或 ）时级数发散， 时级数可能收敛也可能发散.
  5. 定理 5（根值审敛法，柯西判别法） 设 为正项级数，如果 那么当 时级数收敛， （或 ）时级数发散， 时级数可能收敛也可能发散.

交错级数及其审敛法

定义

交错级数是这样的级数它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：

或

其中 都是正数

  • 定理 7（莱布尼兹定理） 如果交错级数 满足条件：
    1. ;
    2. 那么级数收敛，且其和 ，其余项 的绝对值 .

绝对收敛与一致收敛

对于一般级数

它的各项为任意实数，如果其各项的绝对值构成的正项数列 收敛，那么称该级数绝对收敛；如果级数 收敛，而级数 发散，那么称该级数条件收敛.

  • 定理 8 如果级数 绝对收敛，那么级数 必定收敛.

幂级数

函数项级数的概念

给定一个定义在区间 上的函数列 那么由这函数列构成的表达式 称为定义在区间 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数. 而对于每一个确定的值 ，函数项级数成为常数项级数 这个级数可能收敛也可能发散. 如果级数收敛，则称点 为函数项级数的收敛点；如果级数发散，就称点 是函数项级数的发散点. 函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域. 在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ，通常称 为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是收敛域，并写成 把函数项级数的前 项的部分和记作 ，则在收敛域上有 记 ， 叫做函数项级数的余项，并有

幂级数的定义

各项都是常数项乘幂函数的函数项级数，形式为 其中常数 叫做幂级数的系数. - 定理1（阿贝尔（Abel）定理） 如果级数 当 时收敛，那么适合不等式 的一切 使这幂级数绝对收敛. 反之，如果级数 当 使发散，那么适合不等式 的一切 使这幂级数发散.

  • 推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数 存在，使得
    1. 当 时，幂级数绝对收敛；
    2. 当 时，幂级数发散；
    3. 当 时，幂级数可能收敛也可能发散. 这个正数 叫做幂级数的收敛半径，开区间 叫做幂级数的收敛区间，再有幂级数在 处的收敛性就可以决定它的收敛域上 ，， 或 这四个区间之一.
  • 定理2 如果 其中 时幂级数 的相邻两项（指数相差1）的系数，那么这幂函数的收敛半径

幂级数的和函数

  • 性质1 幂级数 的和函数 在其收敛域 上连续.
  • 性质2 幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积，并有逐项积分公式
  • 性质3 幂级数 的和函数 在其收敛区间 内可导，且有逐项求导公式 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

反复应用上述结论可得：幂级数 的和函数 在其收敛区间 内具有任意阶导数.

傅立叶级数

三角级数及三角函数系的正交性

将周期为 的周期函数用一系列以 为周期的正弦函数 组成的级数来表示，记为

其中 都是常数，为了方便起见，将正弦函数 按三角公式变形，得

并且令

则上述级数就可以改写为

形如这样的级数叫做三角级数，其中 都是常数. 令 ，则

这样就把以 为周期的三角级数转换成以 为周期的三角级数.

所谓三角函数系

在区间 上正交，就是指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 上的积分等于零，即

函数展开成傅立叶级数

设 是周期为 的周期函数，且能展开成三角级数

为了求系数 与函数 对关系，我们先对展开式从 到 积分

根据三角函数系的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为0，所以

于是

其次求 . 用 乘原式两端，再从 到 积分，得

根据三角函数系的正交性，等式右端除 的一项外，其余各项均为零，所以

于是

类似的，用 乘原式两端，再从 到 积分，得

由于当 时， 当表达式正好给出 ，因此结果可以合并写成

如果上式中的积分都存在，这是它们定出的系数叫做函数 的傅立叶（Fourier）系数，将这些系数带入原式右端，所得的三角级数叫做函数 的傅立叶级数.