线性代数 - Linear Algebra

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速通线代（雾

  • 行列式计算
  • 矩阵
    • 乘法
    • 伴随矩阵
    • 逆矩阵
    • 高斯消元
    • 解线性方程组
  • 向量组
    • 线性相关/线性无关
    • 线性方程组解的结构
    • 标准正交化
  • 方阵的特征值与特征向量
  • 相似矩阵
  • 对角化
  • 二次型及标准型

行列式

逆序数

在 个元素的任一排列中，当某一元素的先后次序与标准次序（一般为由小到大排列）不同时，就说它构成 1 个逆序. 在一个排列中的所有逆序的总数叫做逆序数.

不失一般性，设 个元素为 到 这 个自然数，并规定由小到大为标准次序，设 为一个排列，考虑元素 ，如果比 大的且排在 前面的元素有 个，就说 这个元素的逆序数是 . 全体元素的逆序数之总和

即是这个排列的逆序数.

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，为偶数的排列叫做偶排列.

对换

在排列中，将任意两个元素对调，其他元素不动，这种作出的新排列的操作叫做对换. 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.

  • 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
    • 推论 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.

n 阶行列式的定义

其中 为 的逆序数， 为所有 排列的集合.

下三角行列式与对角行列式

  • 下三角行列式

  • 对角行列式

由上面的行列式的定义可知，要计算这两种行列式，均只需要计算他们的主对角线上元素乘积，即

行列式的性质

  • 性质 1 行列式与它的转置行列式相等.

  • 性质 2 对换行列式的两行（列），行列式变号.

    • 推论 若行列式有两行（列）完全相同，那么此行列式等于零

  • 性质 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘同一数 等于用数 乘此行列式.

    • 推论 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.
    • 推论 2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

  • 性质 4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 行的元素都是两数之和：

    则 等于下列两个行列式之和：

  • 性质 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变. 例如以数 乘第 行加到第 行上（记作 ），有

行列式按行（列）展开

在 阶行列式中，把 元 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做 元 的余子式，记作 ，并记

叫做 元 的代数余子式.

  • 定理 2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

    或

    • 推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即

范德蒙德（Vandermonde）行列式

通过逐次降阶来计算

矩阵

符号

  • : 行 列矩阵，简称 矩阵.

  • 阶对角矩阵 —— 除主对角线，其他均为

  • 阶单位矩阵，全 的对角矩阵

矩阵的运算

乘法

定义 4 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中

并把此乘积记作

对于单位矩阵 ，特别的有

转置

对于矩阵 沿主对角线翻转矩阵，记为 形式化的有

方阵的行列式

伴随矩阵

行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的矩阵

有

逆矩阵

对于 阶矩阵 若存在一个 阶矩阵 ，使

则称矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵.

的逆矩阵记为 ，若 则 .

  • 定理 1 若矩阵 可逆，则 .
  • 定理 2 若 ，则矩阵 可逆，且

  • 推论 设 为 阶矩阵，若 （或 ），则 可逆且

当 时， 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.

  • 若 可逆，则 可逆，且
  • 若 可逆，数 ，则 可逆 ，且
  • 若 为同阶矩阵且均可逆，则
  • 若 可逆，则 亦可逆，且

分块矩阵

运算仍遵循一般矩阵的形式.

可记

其中

特殊的可分块矩阵

  • 分块对角矩阵

    其逆矩阵为

矩阵的初等变换

  • 对换两行（列）（对换 两行，记作 ，对应的两列为 ）
  • 以数 乘某一行（列）中的所有元（第 行乘 ，记作 ，相应的列为
  • 把某一行（列）所有元的 倍加到另一行（列）对应的元上去（第 行的 倍 加到 第 行上，记作 ，相应的列为 .

如果矩阵 经过有限次初等行变换变成矩阵 就称矩阵 与 矩阵 行等价，记作 ；相应的列变换，就称列等价，记作 ；如果矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵 ，就称矩阵 与 等价，记作 .

行阶梯形矩阵
  1. 非零矩阵满足
    • 非零行在零行上面
    • 非零行的首元所在列在上一行（如果存在）的首元所在列的右面 则称此矩阵为行阶梯形矩阵
  2. 若 是行阶梯形矩阵，且
    • 非零行的首元为
    • 首元所在列的其他元均为 则称 为行最简矩阵

对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变为标准型，即

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 对左边乘相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 对右边乘相应的 阶初等矩阵.

  • 推论 方阵 可逆的充要条件是 ，其中 是可逆矩阵.

高斯消元——矩阵求逆

由增广矩阵

因此，在我们对整个增广矩阵作初等行变换，将 变为 对过程中， 变成了 （或者说记录了变换过程），通过这个方法便于手工计算矩阵的逆.