积分技术与反常积分

期末复习

• 几类常见不定/定积分
• 反常积分

常用不定积分

有理函数的积分

当函数能被拆成 , , 等三类函数时 ，容易求得积分。

而得到这些函数，可以通过先将原始式子化为真分式再进一步待定系数得到。

记化简后的乘积形式为 (真分式)，那么

其中 分别为最高次小于 的多项式，其中的各项系数通过待定系数法确定

例：

可化为有理函数的积分

三角恒等变换

• 通过三角恒等变换，再通过换元，使被积函数有理化

换元

• 如果被积函数中含有简单根式 或 ，可以令这个简单根式为 ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分.
• 当出现 、 等不一样次数但相同被开根数的根式时，取他们次数的最小公倍数的根式，即

例 1

例 2

定积分的性质

若 ，则

积分中值定理

如果函数 在区间 上连续，那么在 上至少存在一个点 ，使下式成立：

变限积分的导数

可将 视作关于 的函数，即 那么

常用定积分

奇偶性与关于原点对称区间

1. 若 在 上连续且为偶函数，则
2. 若 在 上连续且为奇函数，则

原函数可换元为正余弦函数

• 在 上连续，则

证： 令

证： 令

周期性

• 是连续的周期函数，记周期为 ，则

证：令

同理，连续使用可得

华里士（Wallis）公式

证：

又

因此

而

因此

反常积分

• 无穷限
• 无界（瑕积分）

无穷限

设 在 上连续，如果以下极限存在，则称反常积分 收敛，并称此极限值为反常积分的值；反之则称该反常积分发散.

类似的有 设 在 上连续，如果以下极限存在，则称反常积分 收敛，并称此极限值为反常积分的值；反之则称该反常积分发散.

以及，设 在 上连续，如果反常积分 和 反常积分 均收敛，则称反常积分 收敛，并称两反常积分的和为反常积分的值；反之则称该反常积分发散.

瑕积分

设 在区间 上连续，点 为 的瑕点，如果以下极限存在，那么称反常积分 收敛，并称此极限为该反常积分的值；反之则称该反常积分发散.

类似的有，设 在区间 上连续，点 为 的瑕点，如果以下极限存在，那么称反常积分 收敛，并称此极限为该反常积分的值；反之则称该反常积分发散.

以及，设 在区间 及区间 上连续，点 为 的瑕点，如果反常积分 和 反常积分 均收敛，那么称反常积分 收敛，并称反常积分 的值为以上两反常积分的和；反之则称该反常积分发散.