定积分的应用

期末复习

  • 面积
  • 体积
  • 弧长
  • 极坐标

面积

  • 由封闭曲线围成的面积可以由定义直接通过积分计算

两函数

当两函数相对大小关系在区间内变时,作差直接积分;当有变化时应当拆开积分区间分别计算,防止出现负面积。

曲线方程

  • 沿 轴方向其中一条曲线不为函数时,尝试转为沿 轴积分来避免
  • 适当分割区间

例 1:

围成的面积

画图,两焦点为 以及

Figure 1

选择沿 积分更便捷

例 2:

求椭圆 所围成的图形的面积
Figure 2
观察可得,整个面积为第一象限区域内的
该方程是隐函数,不利于直接积分,可将其转换为参数方程

那么面积微元

因此

极坐标

  • 平面坐标系,坐标由有序对 确定
Figure polar coords

极坐标下的面积微元

实质上是一个扇形面积微元

例 3:

计算阿基米德螺旋线

的一段弧与极轴所围成的面积

Figure 3

因此

有极坐标系与平面直角坐标系的换算公式

体积

“实心”旋转体的体积 —— 切片累加

  • “实心”指旋转体与转轴间无空腔

上的连续函数 轴旋转为例,由体积微元

圆筒法 —— 非实心旋转体的体积

上的连续函数 轴旋转为例
我们可以将该旋转体视为一系列圆筒的体积的和,由圆柱体积

我们将函数位于 附近 () 的函数值视为不变,那么该区间旋转围成的圆筒体积为

因此

弧长

设曲线由参数方程构成

其中 上连续可导,且导数不同时为

弧微分

特别的,当 的函数时

当曲线方程可以写成极坐标时