定积分的应用
期末复习
- 面积
- 体积
- 弧长
- 极坐标
面积
- 由封闭曲线围成的面积可以由定义直接通过积分计算
两函数
当两函数相对大小关系在区间内变时,作差直接积分;当有变化时应当拆开积分区间分别计算,防止出现负面积。
曲线方程
- 沿
轴方向其中一条曲线不为函数时,尝试转为沿 轴积分来避免 - 适当分割区间
例 1:
求
画图,两焦点为
选择沿
例 2:
求椭圆
观察可得,整个面积为第一象限区域内的
该方程是隐函数,不利于直接积分,可将其转换为参数方程
那么面积微元
因此
极坐标
- 平面坐标系,坐标由有序对
确定
极坐标下的面积微元
实质上是一个扇形面积微元
例 3:
计算阿基米德螺旋线
在
由
因此
有极坐标系与平面直角坐标系的换算公式
体积
“实心”旋转体的体积 —— 切片累加
- “实心”指旋转体与转轴间无空腔
以
故
圆筒法 —— 非实心旋转体的体积
以
我们可以将该旋转体视为一系列圆筒的体积的和,由圆柱体积
我们将函数位于
因此
弧长
设曲线由参数方程构成
其中
弧微分
特别的,当
当曲线方程可以写成极坐标时