多元函数极值 - Extreme values of multivariate functions

又要期末了，整理一下重要的东西。

• 条件极值 - 拉格朗日乘数法

多元函数极值及极大值与极小值

定义

设函数 的定义域为 ， 为 D 的内点. 若存在 的某个邻域 ，使得对于该邻域内异于 的任何点 ，都有

则称函数 在点 有极大值 称为函数 的极大值点；若对于该邻域内异于 的任何点 ，都有

则称函数 在点 有极小值 称为函数 的极小值点. 极大值与极小值统称为极值. 使得函数取得极值的点称为极值点.

极值点存在定理

• 定理 1（必要条件）
  设函数 在点 具有偏导数. 且在点 处有极值，则有

• 定理 2 （充分条件）
  设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 ，令 则 在 处是否取得极值的条件如下：

  • 1. 时具有极值，且当 时有极大值，当 时有极小值；
  • 2. 时没有极值；
  • 3. 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.

拉格朗日乘数法

设函数 ，在条件 下取得极值.
那么有 . 假定在 的某一邻域内 与 均有连续的一阶偏导数，而 . 由隐函数存在定理可知，可以确定一个连续且具有连续导数的函数 ，将其带入方程，得到一个变量 的函数

于是函数在 取得所求的极值，也就是相当于上式在 取得极值. 由一元可导函数取得极值的必要条件知道

而对约束的隐函数求导公式，有

代入可得

设 ，上述必要条件就变为

若引进辅助函数

，则不难看出该方程组可以写为

函数 称为拉格朗日函数，参数 称为拉格朗日乘子.

以上是针对一个约束的情况，对于两个约束的情况，拉格朗日函数可以写为

形式化的，对于多个约束，条件极值可以写为

其中 称为向量微分算子或 Nabla 算子，也即梯度算子.