重积分 - Multiple Integral

• 二重积分
• 三重积分
• 累次积分

二重积分

定义

二重积分可以理解为计算一曲顶柱体的体积，设被积函数为 ，积分区域为 上的闭区域 首先用一组曲线网把 分为 个小区域

则在每个 中任取点 ，以 为高而底为 的平顶柱体的体积为

则这 个平顶柱体体积之和

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 令 个小闭区域的直径中的最大值（记作 ）趋于零，取上述和的极限，即自然的定义为曲顶柱体的体积 ，即

那么如果各小闭区间的直径中的最大值 时，这和的极限总存在，切与闭区域 的分法及点 的取法无关，那么称此极限为函数在闭区间上的二重积分，记作 ，即

其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做面积元素， 与 叫做积分变量， 为积分区域, 叫做积分和.

二重积分的性质

这里略去线性性质的介绍

• 中值定理 设函数 在闭区域 上连续， 是 的面积，则在 上至少存在一点 ，使得

二重积分的计算

• 型

对一夹在 之间， 轴范围 内的 面内的积分区域

这是先计算一条平行 轴的线上的积分，（平行于 平面的一个面的积分），再对 积分

• 型

对一夹在 之间， 轴范围 内的 面内的积分区域

这是先计算一条平行 轴的线上的积分，（平行于 平面的一个面的积分），再对 积分

对于复杂区域也可以分为 型与 型区域积分，由积分的线性性质累加即可.

• 转为极坐标系计算

极坐标下面积元素 有

其中高阶无穷小 略去

由坐标系转换恒等式

则原积分可写为

下面以一个重要的积分为例

，其中 是由圆心在原点，半径为 的圆周所围成的区域.

由极坐标，原积分可写为

而在工程上常用一个反常积分 无法直接求出原函数，但可以利用上面的积分计算

设

显然 . 由于 ，从而在这些区域上的二重积分之间有不等式

因为

又因为

令 ，上式两端趋于统一极限 ，从而

二重积分的换元法

设变换 :

其中 满足在 平面上有一阶连续偏导数，且在 上的雅可比式 ，且变换 是一对一的.

其中

则有

• 例 8 求由直线 所围成的闭区域 的面积. 令

  又

  从而所求面积为

• 例 9 计算 ，其中 为椭圆 围成的闭区域. 作广义坐标变换

  其中 在这个变换下，与 对应的闭区域为 ，雅可比式

  在 内仅在 处为零，故换元公式仍成立，从而有

三重积分

定义

设 是空间有界闭区域 上的有界函数. 将 任意分成 个小闭区域

其中 表示第 个小闭区域，也表示它的体积. 在每个 上任取一点 ，作乘积 ，并作和 . 如果当各小闭区域直径中的最大值 时，这和的极限总存在，且与闭区域 的分法和及点 的取法无关，那么称此极限为函数 在闭区域 上的三重积分. 记作 ，即

其中 叫做被积函数， 叫做体积元素， 叫做积分区域.

三重积分的计算

大体上有 3 种方法，及其相应的坐标系变换。

投影法

在直角坐标系下，将积分区域 投影到一个平面上，此处以投影到 平面为例，记投影区域为 . 以 的边界为准线作母线平行于 轴的柱面. 这柱面与曲面 的交线从 中分出上、下两部分，它们的方程分别为

且 ，则积分区域 可表示为

先将 视为定值，沿 积分，积分结果是 的函数，记为 ，即

然后计算 在闭区域 上的二重积分

可记为 “先一后二” 法，这样将三重积分最终可以化为 3 次积分.

截面法

对于性质特殊的积分函数，例如只与 有关的积分函数，即沿 的线密度，我们可以先算 上的二重积分，再沿 积分.

设空间闭区域

则有

几个坐标变换

• 柱面坐标

  其中

• 球面坐标

其中