常见傅立叶变换 - Fourier Transform

为什么我还要学数学 😭

傅立叶变换（Fourier Transform）

傅立叶逆变换（Inverse Fourier Transform）

常用傅立叶变换表

时域	频域	备注
		冲激
		直流
		复单频
		余弦
		正弦
		双边指数（最常用）
		对称/反演
		因果指数
		矩形脉冲
（三角）		三角脉冲
		符号函数
		阶跃
		高斯
		希尔伯特相关

---

1. 由冲激函数的筛选性质：

2. 对逆变换 代入 ： 唯一性保证这是唯一的变换对。也可通过广义函数极限 理解。

3. （直接利用第 2 项结论）。

4. 由线性 + 第 3 项：

5. 同理：

6. 拆分为双边积分：

7. 利用对偶性（见性质 6）：若 ，则 。
   令 （偶函数），则 。
   于是：

9. 矩形脉冲在 取值为 1：

10. 三角脉冲 （底宽 ，高 1）是矩形脉冲的归一化自卷积： 由卷积定理（见性质 7）： 两边除以 即得。

11. 由 ，以及第 2、12 项：

12. 由 ，及第 2、11 项：

13. 配方法： 令 ，。被积函数 在复平面沿实轴平移，由高斯积分 ：

14. 由第 11 项 ，应用对偶性（性质 6）： 两边除以 2：

常用傅立叶变换性质

性质	时域	频域
线性
时移
频移
调制
尺度
对偶
卷积
乘积
微分
Parseval

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1. 线性 由积分线性：

2. 时移 令 ：

3. 频移

4. 调制（频移特例） 由欧拉公式 ，再用线性 + 频移：

5. 尺度 令 。若 ： 若 ，积分限交换产生负号，综合得 。

6. 对偶 由逆变换： 将 ： 把积分哑变量 换成 （形式替换），即得 。

7. 卷积

8. 乘积 将 用逆变换表示并交换积分次序：

9. 微分 分部积分（假设 ）： 迭代 次即得 。

10. Parseval 由逆变换 ：